Можно ли сделать обмен квартиры в другой город, если на эту квартиру подписана дарственная на несовершеннолетнего ребёнка?

Судя по вопросу, несовершеннолетний ребенок является собственником квартиры. Продажа или обмен такой квартиры возможен только с разрешения органа опеки и попечительства. 

ГК РФ Статья 37. Распоряжение имуществом подопечного

Опекун не вправе без предварительного разрешения органа опеки и попечительства совершать, а попечитель — давать согласие на совершение сделок по отчуждению, в том числе обмену или дарению имущества подопечного, сдаче его внаем (в аренду), в безвозмездное пользование или в залог...

Обратитесь в орган опеки