возможно ли прописаться на постоянной основе в квартире которой я и мои члены семьи проживают по договору социального найма предоставленной мне Министерством Обороны РФ на время прохождения контракта

Если эта квартира предоставлена вам именно по договору социального найма, то вы можете вселить в нее членов своей семьи. Это предусмотрено Жилищным кодексом

ЖК РФ Статья 70. Право нанимателя на вселение в занимаемое им жилое помещение по договору социального найма других граждан в качестве членов своей семьи
 

1. Наниматель с согласия в письменной форме членов своей семьи, в том числе временно отсутствующих членов своей семьи, вправе вселить в занимаемое им жилое помещение по договору социального найма своего супруга, своих детей и родителей