После проведения экспертизы, должны ли выдавать на руки заключение экспертизы, и если да, то через сколько?

Здравствуйте, все зависит от того в ходе какого процесса и кем была назначена экспертиза. Например, если это была экспертиза, произведенная по постановлению лица, производящего предварительное расследование, то согласно ст. 206 УПК РФ 

заключение эксперта или его сообщение о невозможности дать заключение, а также протокол допроса эксперта предъявляются следователем потерпевшему, его представителю, подозреваемому, обвиняемому, его защитнику, которым разъясняется при этом право ходатайствовать о назначении дополнительной либо повторной судебной экспертизы. 2. Если судебная экспертиза производилась в отношении свидетеля, то ему также предъявляется заключение эксперта.

Лично заключение на руки не выдается. Если экспертиза была назначена Вами самостоятельно, то Вы вправе получить заключение эксперта, сроки для производства различных экспертиз разные, как правило, этот срок не более месяца.