Добрый день, Марина!
В соответствии со ст. 210 Гражданского кодекса РФ собственник несет бремя содержания принадлежащего ему имущества. Таким образом, погасить соответствующую часть долга по коммунальным платежам до заключения договора дарения/регистрации перехода права собственности является Вашей обязанностью. Совершение сделки дарения под условием (в Вашем случае — это перевод долга на отца) не возможно. В соответствии со ст. 572 Гражданского кодекса РФ при наличии встречной передачи вещи или права либо встречного обязательства договор не признается дарением и к такому договору применяются правила о притворной сделке.
В Вашей ситуации можно посоветовать первоначально заключить договор займа на некую сумму (примерно равную части Вашей задолженности по квартплате или чуть больше), а затем через некоторое время — договор дарения. В расписке о возврате денежных средств по договору займа укажете, что они по Вашей просьбе были внесены в счет оплаты задолженности по коммунальным платежам и претензий к Заемщику (Вашему отцу) у Вас нет.
Удачи Вам!