Здравствуйте.

В фитнес-клубе был переоформлен договор на другое лицо.

Этому лицу была выдана только пластиковая карта, никаких иных документов не выдали. На просьбу заключить договор или предоставить иной документ, подтверждающий членство в фитнес-клубе, сказали, что выдали карту и этого вполне достаточно.

Подскажите, как обязать клуб заключить договор или они правы, выдав только карту?

Здравствуйте. По сути они правы. Оферта была, акцепт был. Выдача карты подтверждается заключение договора. Ст. 438 ГК РФ

3. Совершение лицом, получившим оферту, в срок, установленный для ее акцепта, действий по выполнению указанных в ней условий договора (отгрузка товаров, предоставление услуг, выполнение работ, уплата соответствующей суммы и т.п.) считается акцептом, если иное не предусмотрено законом, иными правовыми актами или не указано в оферте.

так что они могут договор Вам и не выдать.