Здравствуйте, такой вопрос, можно ли снимать квартиру если она не приватизирована? И если ее приватизируют после того, как ее сняли, повлияет ли это на меня?

Никак не повлияет. Сейчас вы заключаете договор с нанимателем квартиры, потом будете с ее собственником.