Если у меня нет своего жилья могу ли я получить прописку с помощью социальных служб либо УФМС? Как в таком случае вообще фиксировать своё место пребывания?

Нет, прописку с помощью социальных служб либо УФМС получить нельзя. Вам нужно найти собственника жилья, который согласится зарегистрировать вас в своей квартире по месту жительства или по месту пребывания.

Для регистрации нужно (Постановление Правительства РФ от 17.07.1995 N 713 ):

документ, являющийся основанием для временного проживания гражданина в указанном жилом помещении (договоры найма (поднайма), социального найма жилого помещения, свидетельство о государственной регистрации права на жилое помещение или заявление лица, предоставляющего гражданину жилое помещение).