Здравствуйте, Антон.
Согласно п. 26 Постановления Правительства РФ от 15.01.2007 № 9 «О порядке осуществления миграционного учета иностранных граждан и лиц без гражданства в Российской Федерации»:
26. Иностранный гражданин для заполнения бланка уведомления о прибытии предъявляет принимающей стороне документ, удостоверяющий личность иностранного гражданина, миграционную карту (для временно пребывающего в Российской Федерации иностранного гражданина) и (или) вид на жительство либо разрешение на временное проживание (для постоянно либо временно проживающего в Российской Федерации иностранного гражданина).
В случае прибытия в новое место пребывания дополнительно предъявляется отрывная часть уведомления о прибытии по прежнему месту пребывания в Российской Федерации.
Вам по новому месту пребывания надо отдать отрывную часть уведомления с адресом вашей новой принимающей стороне. Она будет также ставить вас на учет через почту и потом миграционная службе перерегистрирует вас на новый адрес автоматически.