Сосед жалуется на нас, что мы ему мешаем, мешают наши дети,даже днём. В ответ он мешает нам ночью, не даёт спать, стуками, криками.Поступали угрозы. Квартиру мы снимаем, стоит ли вызывать участкового? Переезжать не хотелось бы.

Здравствуйте. Существует законодательство о соблюдении тишины.

Например, Законом г. Москвы от 12.07.2002 г. №42, не допускается нарушение покоя и тишины граждан в ночное время в период с 23 часов до 7 часов. В других регионах устанавливается иное время, в которое не допускается нарушение тишины и покоя граждан.

Нарушение тишины и покоя граждан в указанное время  является административным правонарушением.

Соответственно, Вы вправе вызвать участкового в указанном Вами случае.