Здравствуйте, Алсу!
На Вас полностью распространяются требования Трудового кодекса. Заявление писать надо, но уволиться по соглашению сторон можно без отработки (ст. 78 ТК РФ).
Ниже приведены ссылки на статьи закона, касающиеся оформления трудового договора.
Статья 67 ТК РФ. Форма трудового договора
Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя…
Статья 68 ТК РФ. Оформление приема на работу
Прием на работу оформляется приказом (распоряжением) работодателя, изданным на основании заключенного трудового договора.
По требованию работника работодатель обязан выдать ему надлежаще заверенную копию указанного приказа (распоряжения).
Статья 62 ТК РФ. Выдача документов, связанных с работой, и их копий
По письменному заявлению работника работодатель обязан не позднее трех рабочих дней со дня подачи этого заявления выдать работнику трудовую книжку в целях его обязательного социального страхования (обеспечения), копии документов, связанных с работой (копии приказа о приеме на работу, приказов о переводах на другую работу, приказа об увольнении с работы; выписки из трудовой книжки; справки о заработной плате, о начисленных и фактически уплаченных страховых взносах на обязательное пенсионное страхование, о периоде работы у данного работодателя и другое). Копии документов, связанных с работой, должны быть заверены надлежащим образом и предоставляться работнику безвозмездно.