Могу ли я заключить трудовой договор и работать на местной фабрике по этому трудовому договору? Мне 14 лет

добрый день. Да, можете, но для этого у вас должно быть Общее образование и согласие хотя бы одного родителя и органа опеки. 

ТК РФ Статья 63. Возраст, с которого допускается заключение трудового договора

 
Заключение трудового договора допускается с лицами, достигшими возраста шестнадцати лет, за исключением случаев, предусмотренных настоящим Кодексом, другими федеральными законами. 

С письменного согласия одного из родителей (попечителя) и органа опеки и попечительства трудовой договор может быть заключен с лицом, получившим общее образование и достигшим возраста четырнадцати лет, для выполнения легкого труда, не причиняющего вреда его здоровью, либо с лицом, получающим общее образование и достигшим возраста четырнадцати лет, для выполнения в свободное от получения образования время легкого труда, не причиняющего вреда его здоровью и без ущерба для освоения образовательной программы.