Скажите пожалуйста, если я хочу просто сменить фамилию, на фамилию гражданского мужа не выходя замуж, в свидетельстве о рождении мне ее тогда тоже изменят??

Нет, свидетельство о рождении у Вас останется прежним. Изменения вносят в паспорт, в случае одобрения смены фамилии.