С несовершеннолетним работником заключили трудовой договор на год для выполнения определенного объема работы. После выполнения работы с ним заключили новый трудовой договор на год. Приказ об увольнении и о приеме на работу не издавался.

Какое трудовое отношение существует между работником и работодателем?

Здравствуйте, уважаемый клиент сайта! Если как вы пишете был заключен договор 

для выполнения определенного объема работы

 То это не трудовой договор, а договор подряда, т.е. договор граждаско-правового характера!!!

По договору подряда одна сторона (подрядчик) обязуется выполнить по заданию другой стороны (заказчика) определенную работу и сдать ее результат заказчику, а заказчик обязуется принять результат работы и оплатить его.

То есть в данном случае нет ни работника, ни работодателя, а есть- заказчик и исполнитель, между которыми оформленыгражданско-правовые ( НЕ трудовые) отношения.