Здравствуйте, Светлана.
Как я понимаю вы работаете у двух разных работодателей. В школе по совместительству, то есть в свободное от основной работы время.
ТК РФ Статья 282. Общие положения о работе по совместительству
Совместительство — выполнение работником другой регулярной оплачиваемой работы на условиях трудового договора в свободное от основной работы время.
Заключение трудовых договоров о работе по совместительству допускается с неограниченным числом работодателей, если иное не предусмотрено федеральным законом.
Поэтому требование ДК неправомерны. Они не имеют оснований перевести вас на работу к другому работодателю для этого нужно ваше письменное согласие или письменная просьба.
ТК РФ Статья 72.1. Перевод на другую работу. Перемещение
По письменной просьбе работника или с его письменного согласия может быть осуществлен перевод работника на постоянную работу к другому работодателю. При этом трудовой договор по прежнему месту работы прекращается (пункт 5 части первой статьи 77 настоящего Кодекса).
Таким образом можете продолжать работать так как работали. Законных оснований требоватьот вас перехода на другую работу нет.
С уважением,
Сюзюмов Е.Н.